Tartalomjegyzék:
Statisztika - Átlag, módusz, medián, terjedelem (Lehet 2024)
Kidolgozás és általánosítás
Euler és végtelen sorozat
A differenciálás, az integráció és a végtelen folyamatok 17. századi technikái óriási hatalommal és hatókörrel bírtak, és alkalmazásuk a következő évszázadban kibővült. Csak Euler eredménye elegendő volt Newton, Leibniz és Bernoullis kombinált felfedezéseinek törpítéséhez. Munkájának nagy része az övékre vonatkozik, a mennyei testek, a folyadékok, valamint a rugalmas és rugalmas közegek mechanikájának fejlesztésére. Például Euler tanulmányozta a három tömeg mozgásának a kölcsönös gravitációs vonzerő alatt történő leírása nehéz problémáját (ma három test problémájaként ismert). A Nap-Hold-Föld rendszerre alkalmazva Euler munkája jelentősen megnövelte a navigációban használt holdtáblák pontosságát - amiért a Brit Hosszúság Testülete pénzbeli díjat ítélte oda. Emellett elemzést alkalmazott egy vékony rugalmas gerenda hajlításánál és a vitorlák tervezésénél.
Euler új irányokba is bevonta az elemzést. 1734-ben megoldotta a problémát végtelen sorozat, amely legyőzte elődei: az összegzése a sorozat 1- / 1- 2 + 1- / 2 2 + 1- / 3 2 + 1- / 4 2 + ⋯. Euler talált az összeg, hogy π 2 / 6- a merész lépést összehasonlítjuk a sorozat az összeg a gyökerek a következő végtelen polinomiális egyenlet (melyet a hatványsor a szinusz függvény): sin (négyzetgyök of√x) / √x = négyzetgyök = 1 - x / 3! + X 2 / 5! - x 3 / 7-! + ⋯ = 0. Euler később általánosította ezt az eredményt, hogy megkeresse a függvény értékeit
minden páros természetes számra.
A ζ (k) függvény, amelyet később Riemann zeta függvénynek hívnak, egy fogalom, amely valóban a 19. századhoz tartozik. Euler bepillantott a jövőbe, amikor a Bevezetés a végtelen elemzéséhez című bevezetésében (1748) felfedezte ζ (k) alapvető tulajdonságát: az 1, 2, 3, 4 egész számok összegét,
egyenlő a termékkel a 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 prímszám felett,
, nevezetesen
Ez a megdöbbentő formula volt az első meghirdetés, hogy az elemzés - a folyamatosság elmélete - mondhat valamit a diszkrét és rejtélyes prímszámokról. A zeta funkció felszabadítja a prímek sok titkát - például, hogy végtelen sokan vannak ezekből. Tehát, hogy miért látszik, csak nagyon sok prím volt. Akkor az ζ (s) szorzata csak véges sok kifejezést tartalmaz, és így véges értéke lenne s = 1-nek. De s = 1 esetén a bal oldali összeg a harmonikus sorozat lesz, amelyet Oresme mutatott végtelennek, tehát ellentmondás létrehozása.
Természetesen már tudták, hogy végtelenül sok prím létezik - ez egy híres Euklidész tétel), de Euler bizonyítéka mélyebb betekintést adott az eredménybe. A 20. század végére a prímszámok a legtöbb elektronikus tranzakció biztonságának kulcsaivá váltak, és az érzékeny információkat „elrejtették” a nagy prímszámok szorzásának folyamata (lásd a kriptográfia). Ehhez végtelen számú prímkészletre van szükség, hogy elkerüljük a más ügyletekben alkalmazott prímek megismétlését, így a prímek végtelensége az elektronikus kereskedelem egyik alapjává vált.
Komplex exponenciák
Euler munkájának végső példájaként vegye figyelembe a komplex exponenciák híres formuláját e iθ = cos (θ) + i sin (θ), ahol i = √ −1 négyzetgyöke. Az θ (2) képletéhez hasonlóan, amely meglepő módon a π-t a természetes számok négyzetéhez köti, az e iθ képlete csodálatos módon összekapcsolja az összes leghíresebb számot - e, i és π -. A π helyett θ helyettesítve a képletben e iπ = −1 értéket kapunk, amely minden bizonnyal a legfigyelemreméltóbb képlet a matematikában.
Az e iθ képlete megjelent az Euler Bevezetésében, ahol bebizonyította, hogy a két fél Taylor sorozatát hasonlította össze. A képlet valójában más képletek átdolgozása, Newton kortársainak, Roger Cotesnek és Abraham de Moivre-nak köszönhetően - és Eulerre valószínűleg befolyásolták a mentorával, Johann Bernoulli-val folytatott megbeszélések -, de ez határozottan megmutatja, hogy a szinusz és a koszinusz funkciók az exponenciális függvény részei. Ez is a jövő pillantása volt, ahol sok pár valós funkciót összeolvasztunk egyetlen „komplex” funkcióba. Mielőtt elmagyaráznám, hogy ez mit jelent, még többet kell mondani a funkció fogalmának a 18. században történt alakulásáról.
Funkciók
Calculus számos új funkcióval bevezette a matematikusokat azáltal, hogy új módszereket nyújtott azok meghatározására, például a végtelen sorozatokkal és az integrálokkal. Általánosabban fogalmazva, a függvények a rendes differenciálegyenletek (amelyek tartalmaznak egy változó és annak származékai függvényét) és a részleges differenciálegyenletek (amelyek több változó és derivátum függvényét tartalmazzák ezekre a változókra vonatkoztatva) megoldásaiként merültek fel. Sok fizikai mennyiség egynél több változótól függ, tehát a matematikai fizika egyenletei általában részleges származékokat tartalmaznak.
A 18. században a legtermékenyebb ilyen egyenlet volt a francia matematikus, Jean Le Rond d'Alembert által 1747-ben nyert vibráló hálós egyenlet, amely a feszes hegedűhöz tartozó vibráció során fellépő mennyiségek változásának sebességére vonatkozik (lásd: Musical) eredet). Ez azt a csodálatos következtetést vonta le, hogy az f (x) tetszőleges folytonos függvény 0 és 2π között kifejezhető az y = f (x alakú sorozatban (később Fourier sorozatnak nevezett sorozat) szinusz és koszinusz függvényének összegével.) = a 0 /2 + (a 1 cos (πx) + b 1 sin (πx)) + (a 2 cos (2πx) + b 2 sin (2πx)) + ⋯.
De mi az önkényes folyamatos függvény, és ezt egy sorozat mindig helyesen fejezi ki? Valójában egy ilyen sorozat egyáltalán nem folytonos funkciót képvisel? Joseph Fourier francia matematikus ezeket a kérdéseket a Hő analitikus elmélete (1822) című témakörében tárgyalta. A későbbi vizsgálatok számos meglepetést hoztak fel, amelyek nemcsak a folyamatos funkciók, hanem a folyamatos funkciók jobb megértéséhez vezettek, amelyek valóban Fourier sorozatként fordulnak elő. Ez viszont az általános integráció fogalmának fontos általánosításaihoz vezetett, amelyek célja a nagyon folytonos funkciók integrálása - az 1854-es Riemann-integrál és az 1902-es Lebesgue-integrál (lásd Riemann-integrál és az Méréselmélet.)
Folyadékáramlás
A másik irányba történő evolúció akkor kezdődött, amikor a francia matematikusok, Alexis Clairaut 1740-ben és d'Alembert 1752-ben felfedezték a folyadékáram egyenleteit. Egyenletük az u és v sebességkomponenseket az (x, y) ponton állandó kétdimenziós áramlással szabályozza. A vibráló húrhoz hasonlóan a folyadék mozgása meglehetősen önkényes, bár nem teljesen - d'Alembert meglepődve észrevette, hogy az u + iv sebességkomponensek kombinációja x + iy megkülönböztethető függvénye. Eulerhez hasonlóan ő is felfedezte egy komplex változó funkcióját, u és v valós és képzeletbeli részeivel.
Az u + iv tulajdonságát 1827-ben Augustin-Louis Cauchy, majd 1851-ben Németországban Bernhard Riemann fedezte fel. Ekkorra a komplex számok a matematika elfogadott részévé váltak, és ugyanazokat az algebrai szabályokat követik, mint a valós számok, és rendelkeznek egy világos geometriai értelmezés pontként a síkon. Bármely f (z) komplex függvény f (z) = f (x + iy) = u (x, y) + iv (x, y) formában írható, ahol u és v az x valós értékű függvényei és y. Komplex differenciálható függvények azok, amelyeknél az (f (z + h) - f (z)) / h f ′ (z) határértéke létezik, mivel a h nullára mutat. Azonban a valós számoktól eltérően, amelyek csak a valós vonal mentén közelíthetnek nullát, az összetett számok a síkban vannak, és végtelen számú út vezet nullához. Kiderült, hogy annak érdekében, hogy ugyanazt az f ′ (z) határértéket adja meg, mivel a h bármilyen irányból nulla, az u és v értékeinek meg kell felelniük a Clairaut és a d'Alembert egyenlet által előírt korlátozásoknak (lásd D'Alembert hullámagyenletét)..
A differenciálhatóság megjelenítésének egyik módja az f függvénynek az egyik síkról a másikra történő leképezéseként való értelmezése. Ahhoz, hogy f '(z) létezzen, az f függvénynek „hasonlóságot megőrizve kicsiben” vagy konformálisnak kell lennie, vagyis a végtelen tartományokat hűségesen azonos alakú régiókhoz kell igazítani, bár lehetséges, hogy valamilyen tényező elforgatja és nagyítja őket. Ez megkülönböztethető komplex funkciókat tesz lehetővé hasznosak a tényleges térképezési problémákban, és erre a célra már akkor használták őket, mielőtt Cauchy és Riemann felismerte elméleti jelentőségüket.
A differenciálhatóság sokkal jelentősebb tulajdonság a komplex függvényeknél, mint a valós függvényeknél. Cauchy rájött, hogy ha létezik egy funkció elsõ deriváltja, akkor léteznek minden származéka, és ezért egy z sorozatban - Taylor sorozatban - ábrázolni lehet egy energiával. Egy ilyen funkciót analitikusnak hívnak. A valósan megkülönböztethető funkcióktól eltérően, amelyek ugyanolyan rugalmasak, mint a karakterlánc, az összetett megkülönböztethető függvények „merevek” abban az értelemben, hogy a függvény bármely területe meghatározza a teljes függvényt. Ennek oka az, hogy a függvény értéke bármely régió felett, függetlenül attól, hogy kicsi is, meghatározza az összes származékát, és így meghatározzák a teljesítmény sorozatát. Így az elemző funkciók tanulmányozása hatalmasorozaton keresztül történt. Ez egy olyan program, amelyet Joseph-Louis Lagrange olasz francia matematikus próbált meg a 18. században a valódi funkciók elvégzésére, de először a 19. században, a német matematikus Karl Weierstrass által sikeresen végrehajtotta. felfedezték a komplex elemző funkciók megfelelő tárgyát.
