Laplace-Poisson-egyenlet példa: Síkkondenzátor (Lehet 2024)
Laplace-egyenlet, a fizikában széles körben alkalmazható másodrendű parciális differenciálegyenlet, mivel R megoldásai (harmonikus funkciók néven ismertek) az elektromos, mágneses és gravitációs potenciál, az egyensúlyi hőmérséklet és a hidrodinamika problémáinál fordulnak elő. Az egyenletet a francia matematikus és csillagász, Pierre-Simon Laplace (1749–1827) fedezte fel.
A fizika tudományának alapelvei: Divergencia és Laplace-egyenlet
Ha a töltések nem különálló pontok, hanem folyamatos eloszlást képeznek, ahol a helyi töltési sűrűség ρ a töltés aránya δ
Laplace-egyenlet szerint az R másodrendű részleges deriváltjának az ismeretlen függvény összege a derékszögű koordinátákhoz viszonyítva nulla:
A bal oldalon lévő összeget gyakran a ∇ 2 R kifejezés képviseli, amelyben az ∇ 2 szimbólumot Laplaciannak vagy Laplac operátornak hívják.
Számos fizikai rendszert kényelmesebben lehet leírni gömbös vagy hengeres koordinátarendszerek alkalmazásával. Laplace-egyenlet átdolgozható ezekben a koordinátákban; például hengeres koordinátákban Laplace-egyenlete:
